Concours ENSCK 2025 - Mathématiques

Mathématiques

Question 41

Soit $z$ un nombre complexe tel que $|z|=1$. $Re\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right) =$

A) $1$B) $0$C) $Re(z)$D) $1 - Re(z)$

Question 42

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. L'ensemble des points d'affixe $z$ tel que $z+\frac{1}{z} \in \mathbb{R}$ est :

A) l'axe des abscisses privé du point OB) l'axe des abscisses privé du point A(1) union le cercle de centre O et de rayon 1C) Le cercle de centre O et de rayon 1 privé des points O et A(1)D) l'axe des abscisses privé du point O union le cercle de centre O et de rayon 1

Question 43

Soit $a \in ]0, +\infty[$ et $f$ la fonction définie par $f(x) = 1 + x \ln\sqrt{1+\frac{a}{x}}$. $\lim_{x\to+\infty}f(x) =$

A) $1+\frac{a}{2}$B) $1+a$C) $+\infty$D) $0$

Question 44

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)e^x dx =$

A) $\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$B) $\frac{1-e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$C) $1+e^{\frac{\pi}{2}}$D) $1-e^{\frac{\pi}{2}}$

Question 45

Soit la fonction $f$ donnée par $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

A) $f$ n'est pas continue en 0B) $f$ n'est pas dérivable en 0C) $f'$ n'est pas continue en 0D) $f'$ est continue en 0

Question 46

Dans l'espace affine rapporté au repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ on considère la sphère S d'équation cartésienne $x^2+y^2+z^2-2x+y+1=0$ et le plan P d'équation $\sqrt{2}x-y-z-\alpha=0$. P est tangent à S si :

A) $\alpha = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}$ ou $\alpha = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$B) $\alpha = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ ou $\alpha = -\frac{3}{2} + \sqrt{2}$C) $\alpha = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}$ ou $\alpha = -\frac{3}{2} + \sqrt{2}$D) $\alpha = -\frac{1}{2} - \sqrt{2}$ ou $\alpha = \sqrt{2}$

Question 47

$\int_1^2 \frac{dx}{x(x^2+1)} =$

A) $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{5}\right)$B) $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{8}{5}\right)$C) $\ln\left(\frac{8}{5}\right)$D) $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)$

Question 48

Soit $A_n = (1-x)^n(1+x)^n$ et $B_n = (1-\frac{x}{n})^n(1+\frac{x}{n})^n$ avec $x \in ]0, 1[$.

A) $\lim_{n\to+\infty} A_n = e^{-x}$B) $\lim_{n\to+\infty} A_n = 1$C) $\lim_{n\to+\infty} B_n = e^{-x}$D) $\lim_{n\to+\infty} B_n = 1$

Question 49

Soit l'équation $(E_m) : z^2 - 4z + m = 0, \, m \in \mathbb{R}$ admettant deux solutions complexes non réelles. $z_0$ l'une de ses deux racines.

A) $a^5 = 38+41i$B) $m \le 4$C) $m = |z_0|^2$D) $m$ est une racine de $(E_m)$

Question 50

On note $a = 2+i$. Si $a$ est racine de $(E_m)$ alors $m =$

A) $(2+i)^2$B) $Im(2+i)^2$C) $5$D) $\sqrt{5}$

Question 51

Le linéarisé de l'expression $\sin^2 x \cos 3x$ est

A) $\frac{1}{2}\cos 3x - \frac{1}{4}\cos 5x + \frac{1}{4}\cos x$B) $\frac{1}{2}\cos 3x + \frac{1}{4}\cos 5x + \frac{1}{4}\cos x$C) $\frac{1}{2}\cos 3x + \frac{1}{4}\cos 5x - \frac{1}{4}\cos x$D) $\frac{1}{2}\cos 3x - \frac{1}{4}\cos 5x - \frac{1}{4}\cos x$

Question 52

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})$

A) $(u_n)$ est croissanteB) $(u_n)$ est décroissanteC) $(u_n)$ est minorée par 2D) $u_n \ge 2, \forall n \in \mathbb{N}$

Question 53

Posons $v_n = u_n - \sqrt{2}$. $\lim_{n\to+\infty} v_n =$

A) $+\infty$B) $0$C) $\sqrt{2}$D) $-\sqrt{2}$

Question 54

Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x \ln x + \frac{1}{x}$

A) $\lim_{x\to0^+} f(x) = -\infty$B) $f'(x) = \ln x + 1 + \frac{1}{x^2}, \forall x \in ]0, +\infty[$C) $C_f$ admet une asymptote oblique en $+\infty$D) La tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=1$ est horizontale

Question 55

On considère les deux suites $(u_n)_{n\ge0}$ et $(v_n)_{n\ge0}$ définies par $u_0 = 9$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$, et $v_n = \ln u_n$. On note $S = v_0 + v_1 + \dots + v_n$ et $P = u_0 u_1 \dots u_n$.

A) $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $-\ln 3$B) $\forall n \in \mathbb{N}, v_n = \frac{1}{2^n} \ln 3$C) $\forall n \in \mathbb{N}, S = 4(1 - \frac{1}{2^{n+1}}) \ln 3$D) $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$

Question 56

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère la transformation $f$ qui à tout point M d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $M'$ est l'image de M par une rotation de centre A d'affixe $1+i$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ suivi d'une translation de vecteur d'affixe $2-i$. $z' =$

A) $i(z+(1+i))+(1+i)+(2-i)$B) $iz + (4-i)$C) $z + (2-i)$D) $-iz + (1-i)$

Question 57

$\int_0^{2\pi} |\sin x| dx =$

A) $1$B) $2$C) $4$D) $0$

Question 58

Soient $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs. Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égal à :

A) $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix}$B) $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}$C) $\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}$D) $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

Question 59

Dans une ville 30% des habitants utilisent le bus, 50% utilisent la voiture et le reste utilise la marche à pied pour aller au travail. On observe que 90% des usagers de bus et 60% des automobilistes et 100% des piétons sont à l'heure. On choisit un habitant X au hasard.

A) La probabilité que X soit à l'heure est 0.66B) La probabilité que X soit venu en voiture est 0.6C) La probabilité que X soit venu en voiture et en retard est 0.15D) La probabilité que X soit venu en bus et à l'heure est 0.27

Question 60

Une urne contient n boules rouges et m boules vertes. On en tire deux, l'une après l'autre (sans remise). La probabilité pour que la seconde boule tirée soit rouge est :

A) $\frac{n}{n+m}$B) $\frac{n-1}{n+m-1}$C) $\frac{n^2}{(n+m)^2}$D) $\frac{n^2}{(n+m)(n+m-1)}$

Concours d'accès au Cycle Préparatoire Intégré ENSCK - 2025

Épreuve : Mathématiques

Mathématiques